SimVideo - Hjelp - Interaktiv simulering (egentrening)

[Hovedmeny] [SimReal] [Teori1] [Teori2] [Formel] [SimV] [Sim] [Ex] [Anv] [Hjelp]

Ved merking av checkboksen 'Sim', vises et interaktivt simuleringsprogram for egentrening.
Videohjelp til dette simuleringsprogrammet vises ved å merke av i checkboksen 'SimV'.

Figuren på denne siden viser et eksempel fra matematikk / fysikk med anvendelse av partielle differensial-ligninger samt Fourier-rekker til studier av varmeledning (se detaljert forklaring nedenfor).

Matematikk: Anvendelse av part.diff.lign. samt Fourier-serier til studier av varmeledning.

En L=50 cm lang stav med diffusivitet k=0.15 cm/s varmes initielt opp til 100 grader i den ene enden med lineært avtagende temperatur til 0 grader i den andre enden.
Ved tiden t=0 omhylles stavens to ender med is av 0 grader.

Simuleringen viser hvordan temperaturen i stavens ulike punkter endres med tiden.

Kort fortalt om fremgangsmåten:

Det kan matematisk vises at den partielle differensialligningen som beskriver temperaturen u som funksjon av posisjon x og tid t er gitt ved:

u_t(x,t) = k*u_xx(x,t)

u_t(x,t) er den første partiell-deriverte av u mht t.
u_xx(x,t) er den andre partiell deriverte av u mht x.

Vi Fourier-sinus-utvikler initial-temperaturen med periode 2L=100 cm.
På figuren vises de enkelte ledd i Fourier-serien (grå), samt summen av de N=11 første ledd i Fourier-serien (rød).
Ved å ta med tilstrekkelig antall ledd (N>50), vil den opprinnelige initial-temperaturen kunne beskrives vha Fourier-serien.

Temperaturen u = u(x,t) sinus-utvikles analogt (dette ivaretar rand-betingelsene om at temperaturen skal holdes på 0 grader (vha is) i stavens endepunkter).
Vha koeffisient-sammenligninger kan nå temperatur-funksjonen bestemmes.

Vha tids-skrollbaren kan vi simulere temperatur-endringene i staven både vha en temperatur-graf og farge-endring (rød = 100 grader, blå = 0 grader).
Diffusiviteten k og den lineære initial-temperatur-raten A fra stavens ene endepunkt kan endres, og vi kan dermed momentant studere hvilken innvirkning disse har på temperatur-fordelingen.
På figuren ser vi stavens initial-temperatur (før is legges på endene av staven).
N=11 antall ledd er tatt med i Fourier-sinus-utviklingen av initial-temperaturen.
Vi ser at N må økes for å få en god tilpasning til initial-temperaturen.
I Fourier-sinus-utviklingen vises (i tillegg til summen) hvert av de 11 leddene i summen.