| SimReal - Matematikk - Fourier - Sampling | |
|
Sampling De fleste er vel noe kjent med ordet 'digitalisering'. Tale, musikk, bilde, film, EKG-diagram er eksempler på såkalte analoge (kontinuerlige funksjoner). Slike funksjoner inneholder mye informasjon. Det er velkjent i dag at vi, under gitte betingelser, kan reprodusere all denne informasjonen på grunnlag av tilstrekkelig del-informasjon fra slike funksjoner. Dette gjøres ved såkalt digitalisering hvor vi lagrer kun noen av funksjons-verdiene. Slik digitalisering er ressurs-sparende i rom og tid, og gir samtidig stor fleksibilitet hva angår ulike transformasjoner av funksjonene (eks. bildebehandling). Sampling av en funksjon vil si å ta vare på funksjonsverdier i noen diskrete punkter. Shannons samplingsteorem sier at hvis en funksjon inneholder en øvre frekvens-grense 2*PI*W, så kan den opprinnelige funksjonen reproduseres eksakt ved følgende minimum samplings-hyppighet: f(n/(2W)) n = ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... Ved reproduksjon, multipliseres de samplede verdier med en translert Sinc-funksjon og summeres deretter over alle n. Hvis en øvre frekvens-grense ikke er kjent (eller ikke finnes), fjernes (vha Fourier-transformasjon) frekvens-komponentene over en gitt frekvens-grense. Dette gjøres for lyd/bilde for frekvenskomponenter som vårt øre ikke kan høre / vårt øye ikke kan se. Uten en øvre frekvens-grense vil såkalt 'aliasing' (forstyrrelse) opptre i reprodusert signal. |
|
Predefinerte funksjoner Velg [Sampling][Predefined Sampling] fra hovedmenyen [Main Menu]. Dette gir mulighet til å studere sampling av en del ulike, predefinerte funksjoner. |
|
Velg blant predefinert funksjoner 5 predefinerte funksjoner er lagt inn i samplings-modulen:
f(t) = 2sin(wt) Sin
f(t) = 2sin(wt) + 2cos(2wt) SinCos
f(t) = 2sin(wt) + 2cos(2wt) - cos(5wt) SinCosCos
f(t) = 4sin(wt) + 2cos(2wt) + sin(5wt) SCS
f(t) = 5sin(wt) + 2cos(2wt) + sin(3wt) + 0.5cos(4wt) + 0.25sin(5wt) SCSCS
|
|
Predefinert funksjon f(t) = 2sin(wt) + 2cos(2wt) - cos(5wt) Straks predefinert funksjon er valgt, vises funksjons-grafen i graf-vinduet. Grafen kan vises/skjules ved merking/avmerking i checkboksen 'Function'. |
|
Formel Merk av i checkboksen 'Formula' for å se funksjons-uttrykket til valgt funksjon. |
|
Formel - Funksjon I linje nr 1 i formel-vinduet vises funksjons-uttrykket til valgt funksjon. |
|
Formel - Whittaker/Shannon I linje nr 2 i formel-vinduet vises Whittaker-Shannon's samplings-teorem. f(n/(2W) er de samplede funksjons-verdiene. Hver av disse skal multipliseres med en såkalt translert 'Sinc'-funksjon. Ved å summere disse produktene over alle n, vil vi få en eksakt reproduksjon av den opprinnelige funksjonen, forutsatt at den opprinnelige funksjonen har en øvre frekvensverdi som er mindre enn eller lik W. Teorien og beviset for dette finner du her. Ved bruk av Whittaker-Shannon's samplingsformel, summeres leddene for alle n i intervallet [-N,N] (bruk skrollbaren N). |
|
Formel - Samplingsverdier f(n/(2W)) angir de samplede funksjonverdiene i punktene: ..., -2/(2W), -1(2W), 0/(2W), 1/(2W), 2/(2W), ... . Verdien av W angir hvor tett punktene skal samples. W må være større enn eller lik høyeste frekvens i den funksjonen som skal samples. Vi ser at nevneren i f-uttrykket er 2W, hvilket betyr at vi må ha en samplings-frekvens som er minst det dobbelte av høyeste frekvens i den funksjonen som skal samples. I praksis har vi svært ofte slike øvre frekvens-grenser. Når vi skal digitalisere lyd, kan vi sette øvre frekvens-grense til 20.000 Hz siden vårt øre ikke kan høre frekvenser over denne grensen. Samplings-frekvensen må da være minst 2*20.000 Hz = 40.000 Hz, dvs vi må sample minst 40.000 ganger i sekundet. Tilsvarende gjelder digitalisering av bilde/film. Her kan vi sette en øvre frekvens-grense ved å fjerne alle frekvenser som vårt øye ikke kan se. |
|
Formel - Sinc-funksjon De samplede funksjons-verdiene må multipliseres med en såkalt translert 'Sinc'-funksjon. Disse translerte 'Sinc'-funksjonene fungerer derfor som basis-funksjoner (bygge-steiner) i Whittaker-Shannon's samplings-teorem. |
|
Formel - Frekvensgrense Betingelsen for reproduksjon av opprinnelige funksjon vha Whittaker-Shannon's samplings-teorem er at opprinnelige funksjonen har en øvre frekvens-grense W. Samplings-frekvensen må større enn eller lik den dobbelte av W. |
|
Formel - Frekvensgrense I vårt valgte funksjons-eksempel har vi tre trigonometriske ledd, med vinkel-frekvenser henholdsvis w, 2w og 5w. Default verdi av w er 1, hvilket gir de tre vinkel-frekvensene 1, 2 og 5. Den høyeste vinkel-frekvensen i funksjonen er derfor 5 (benevning radianer pr sekund eller kun pr sekund). Sammenhengen mellom vinkel-frekvens wf og frekvens f er gitt ved wf = 2*PI*f. Den høyeste frekvensen f i vår funksjon er derfor 5/(2*PI). For at den Whittaker-Shannon's samplings-teorem skal kunne benyttes i dette eksemplet, må derfor W være større enn eller lik 5/(2*PI). |
|
Funksjons-frekvens Vha skrollbaren w, kan vi endre frekvens-komponentene i vår valgte funksjon. |
|
Samplings-frekvens Vha skrollbaren W, kan vi endre samplings-frekvensen. |
|
Minimum samplings-frekvens Merk av i checkboksen 'Sample' for å se de samplede punktene. Samplings-frekvensen kan endres vha skrollbaren W. Merk av i checkboksen 'Sample Min', hvis du ønsker en automatisk generering av minimum sampling-frekvens. Skrollbaren W innstiller seg automatisk i korrekt posisjon, og denne minimum samplings-frekvensen vises i datafeltet W. Samplede punkter vises automatisk i gra-vinduet. |
|
Samplings-punkter Hvis ønskelig kan funksjons-grafen skjules (avmerk checkboksen 'Function'), slik at kun de samplede punktene vises i graf-vinduet. |
|
Reproduksjon (N=0) La oss nå (vha Whittaker-Shannon's samplings-teorem) starte reproduksjonen av vår valgte funksjon. Merk av i checkboksen 'Sum' for å starte denne reproduksjonen. Ett ledd (svarende til n=0) i samplings-formelen er nå tatt med (vises som rød graf i graf-vinduet). Merk at Sinc-funksjonen nå er multiplisert med f(0/(2W) = f(0), dvs den typiske toppen i Sinc-funksjonen er multiplisert opp til å gå gjennom punktet (0,f(0)). Ved reproduksjon (bruk av Whittaker-Shannon's samplingformel), beregnes summen av alle ledd svarende til alle n i intervallet [-N,N]. |
|
Reproduksjon (N=1) Vha skrollbaren N kan vi bestemme antall ledd som skal være med i sampling-formelen. På figuren er N=1. Den rød grafen viser nå summen av de tre leddene i samplings-formelen som svarer til n=-1, n=0 og n=1. |
|
Reproduksjon (N=10) Vha skrollbaren N kan vi bestemme antall ledd som skal være med i sampling-formelen. På figuren er N=10. Den rød grafen viser nå summen av de 21 leddene i samplings-formelen som svarer til n=-10, n=-9,..., n=-1, n=0, n=1,..., n=9, n=10. Vi ser at den reproduserte funksjonen stemmer bra overrens med den opprinnelige funksjonen i et område omkring origo. |
|
Reproduksjon (N=95) Vha skrollbaren N kan vi bestemme antall ledd som skal være med i sampling-formelen. På figuren er N=95. Den rød grafen viser nå summen av de 181 leddene i samplings-formelen som svarer til n=-95, n=-94,..., n=-1, n=0, n=1,..., n=94, n=95. Vi ser at den reproduserte funksjonen stemmer svært bra overrens med den opprinnelige funksjonen i den delen av funksjonen av vises i graf-vinduet. |
|
Reproduksjon W < Wmin Ved å la samplings-frekvensen W være mindre enn minimum samplings-frekvens (bruk skrollbaren W), ser vi at vi ikke klarer å reprodusere opprinnelige funksjon til tross for at vi har satt N=100 (tatt med 201 ledd i samplingsformelen). Vi har altså på en eller annen måte fått inn forstyrrelser i vår reproduserte funksjon. Dette kalles 'aliasing'. |
|
Reproduksjon W > Wmin Vha skrollbaren W øker vi nå samplings-frekvensen ut over minimum samplings-frekvensen. Samplings-punktene kommer nå tettere i grafen. |
|
Reproduksjon W > Wmin og N=17 På figuren har vi satt W til 2.465 (større enn minimum samplings-frekvens). Vi har satt N=17, dvs tatt med 35 ledd i samplings-formelen. Vi ser at vi har god overensstemmelse i et område omkring origo. |
|
Reproduksjon W > Wmin og N=100 Samme som ovenfor, men N er nå satt til 100, dvs vi har tatt med 201 ledd i samplings-formelen. Overensstemmelsen er meget god. |
|
Sinc-funksjon På figuren ser vi Sinc-funksjonen med n=0 og W = Wmin. Sinc-funksjonen har en typisk topp for t=0. |
|
Sinc-funksjon På figuren ser vi Sinc-funksjonen med n=0 og W < Wmin. Sinc-funksjonen har en typisk topp for t=0, men toppen er bredere enn for W = Wmin |
|
Sinc-funksjon På figuren ser vi Sinc-funksjonen med n=0 og W W > Wmin. Sinc-funksjonen har en typisk topp for t=0, men toppen er smalere enn for W = Wmin |
|
Sinc-funksjon På figuren ser vi Sinc-funksjonen med n=10 og W = Wmin. Sinc-funksjonen har en typisk topp svarende til posisjonen til det samplede punkt nr n=10, dvs Sinc-funksjonen er translert. |
|
Current - Enkelt-ledd i samplings-formelen På figuren er den translerte Sinc-funksjonen med n=5 og W = Wmin multiplisert med samplings-verdien f(5/(2W)). Vi ser at dette leddet matcher sampling-punkt nr n=5. |
|
All - Alle enkelt-ledd i samplings-formelen svarende til gitt N På figuren er den translerte Sinc-funksjonen med n=5 og W = Wmin multiplisert med samplings-verdien f(5/(2W)) (sort graf), samt de øvrige tilsvarende ledd for n i intervallet [-N,N] med N=5 (grå graf). Vi ser at dette leddet matcher sampling-punkt nr n=5. |
|
Sum - Current - All Samme som ovenfor, men i tillegg vises summen av alle ledd i samplings-formelen svarende til alle n i intervallet [-N,N] med N=5. |
