| SimReal - Matematikk - Fourier | |
|
Matematikk: Anvendelse av part.diff.lign. samt Fourier-serier til studier av varmeledning. En L=50 cm lang stav med diffusivitet k=0.15 cm/s varmes initielt opp til 100 grader i den ene enden med lineært avtagende temperatur til 0 grader i den andre enden. Ved tiden t=0 omhylles stavens to ender med is av 0 grader. Simuleringen viser hvordan temperaturen i stavens ulike punkter endres med tiden. Kort fortalt om fremgangsmåten: Det kan matematisk vises at den partielle differensialligningen som beskriver temperaturen u som funksjon av posisjon x og tid t er gitt ved: ut(x,t) = k*uxx(x,t) ut(x,t) er den første partiell-deriverte av u mht t. uxx(x,t) er den andre partiell deriverte av u mht x. Vi Fourier-sinus-utvikler initial-temperaturen med periode 2L=100 cm. På figuren vises de enkelte ledd i Fourier-serien (grå), samt summen av de N=10 første ledd i Fourier-serien (rød). Ved å ta med tilstrekkelig antall ledd (N>50), vil den opprinnelige initial-temperaturen kunne beskrives vha Fourier-serien. Temperaturen u = u(x,t) sinus-utvikles analogt (dette ivaretar rand-betingelsene om at temperaturen skal holdes på 0 grader (vha is) i stavens endepunkter). Vha koeffisient-sammenligninger kan nå temperatur-funksjonen bestemmes. |
